Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 5 & - 10 & - 5 \\ 2 & 14 & 2 \\ - 4 & - 8 & 6 \end{array}]$

Etapa 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 14 & 2 \\ - 8 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 14 \cdot 6 - (- 8 \cdot 2)$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique $14$ por $6$ .

$a_{11} = 84 - (- 8 \cdot 2)$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique $- (- 8 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.2.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$a_{11} = 84 - - 16$

Etapa 2.1.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$a_{11} = 84 + 16$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $84$ e $16$ .

$a_{11} = 100$

Etapa 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 4 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 2 \cdot 6 - (- 4 \cdot 2)$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$a_{12} = 12 - (- 4 \cdot 2)$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique $- (- 4 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$a_{12} = 12 - - 8$

Etapa 2.2.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$a_{12} = 12 + 8$

Etapa 2.2.2.2.2

Some $12$ e $8$ .

$a_{12} = 20$

Etapa 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 14 \\ - 4 & - 8 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 2 \cdot - 8 - (- 4 \cdot 14)$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$a_{13} = - 16 - (- 4 \cdot 14)$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique $- (- 4 \cdot 14)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $14$ .

$a_{13} = - 16 - - 56$

Etapa 2.3.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 56$ .

$a_{13} = - 16 + 56$

Etapa 2.3.2.2.2

Some $- 16$ e $56$ .

$a_{13} = 40$

Etapa 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & - 5 \\ - 8 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = - 10 \cdot 6 - (- 8 \cdot - 5)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique $- 10$ por $6$ .

$a_{21} = - 60 - (- 8 \cdot - 5)$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique $- (- 8 \cdot - 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.2.1

Multiplique $- 8$ por $- 5$ .

$a_{21} = - 60 - 1 \cdot 40$

Etapa 2.4.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $40$ .

$a_{21} = - 60 - 40$

Etapa 2.4.2.2.2

Subtraia $40$ de $- 60$ .

$a_{21} = - 100$

Etapa 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 5 \\ - 4 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 5 \cdot 6 - (- 4 \cdot - 5)$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $6$ .

$a_{22} = 30 - (- 4 \cdot - 5)$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique $- (- 4 \cdot - 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$a_{22} = 30 - 1 \cdot 20$

Etapa 2.5.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$a_{22} = 30 - 20$

Etapa 2.5.2.2.2

Subtraia $20$ de $30$ .

$a_{22} = 10$

Etapa 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ - 4 & - 8 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 5 \cdot - 8 - (- 4 \cdot - 10)$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $- 8$ .

$a_{23} = - 40 - (- 4 \cdot - 10)$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique $- (- 4 \cdot - 10)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 10$ .

$a_{23} = - 40 - 1 \cdot 40$

Etapa 2.6.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $40$ .

$a_{23} = - 40 - 40$

Etapa 2.6.2.2.2

Subtraia $40$ de $- 40$ .

$a_{23} = - 80$

Etapa 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & - 5 \\ 14 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = - 10 \cdot 2 - 14 \cdot - 5$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$a_{31} = - 20 - 14 \cdot - 5$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique $- 14$ por $- 5$ .

$a_{31} = - 20 + 70$

Etapa 2.7.2.2.2

Some $- 20$ e $70$ .

$a_{31} = 50$

Etapa 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 5 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 5 \cdot 2 - 2 \cdot - 5$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$a_{32} = 10 - 2 \cdot - 5$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$a_{32} = 10 + 10$

Etapa 2.8.2.2.2

Some $10$ e $10$ .

$a_{32} = 20$

Etapa 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 & 14 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 5 \cdot 14 - 2 \cdot - 10$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $14$ .

$a_{33} = 70 - 2 \cdot - 10$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 10$ .

$a_{33} = 70 + 20$

Etapa 2.9.2.2.2

Some $70$ e $20$ .

$a_{33} = 90$

Etapa 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 100 & - 20 & 40 \\ 100 & 10 & 80 \\ 50 & - 20 & 90 \end{array}]$

Etapa 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 100 & 100 & 50 \\ - 20 & 10 & - 20 \\ 40 & 80 & 90 \end{array}]$